книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Рис. 84. Спектры пульсаций продольной составляющей скорости на фиксирован­ ном расстоянии от пластины:

и	= 1 5		м/с; у л	=	0,3 мм; и ’. — средняя квадратическая величина пульсаций и '						на ча-
сзо			и			i
стоте f;			—суммарная средняя квадратическая величина продольных пульсаций ско­
рости;		а — при		отсутствии звукового			сигнала:		203%; 3) х = 300 мм; 8ц =		2,96%;
/)	х =	100 мм, ец			=	1,52%; 2) х = 250 мм, Вц =
4) х =		350 мм, 8ц			=	8,23%; 5) х = 500 мм, Вц =		11%; б — при наличии сигнала У З Д =
=126 дБ, f=800 Гц: /) *=150 мм, 8ц =							2,73%; 2) х	=	250 мм,	= 8,20%; 5) х =	400 мм,
Вц =		9,07%; в) — при наличии звукового сигнала							У З Д =	120 дБ, f = 1600 Гц: /) х =
=	150 мм, Вц =			1,33%; 2) х = 250 мм,			= 1,76%; 8) х =			300 мм, 8j; = 3,08%;	4) * =
=	350 мм, Вц =			9,90%; 5) х = 400 мм, вц — 12,3%

при частоте 100 Гц. Наблюдается влияние степени турбулент­ ности ги на переход.

Экспериментальное исследование влияния полей акустиче­ ского шума с дискретным спектром и турбулентности с широким спектром на переход ламинарного пограничного слоя в турбу­ лентный приведено на рис. 85, где даны зависимости критиче­

ского числа Рейнольдса (Ree)KP от						средней квадратической вели­
чины	интенсивности			(и'/и0)	gre	е
для различных типов возму-
щений. На координату точки					5
перехода существенно влияет
частота возмущений. Крити­
ческое		число	Рейнольдса		j
уменьшается при уменьшении
основной		частоты заданной			2
интенсивности			колебаний.
Рис. 85.	Влияние		возмущения ос­
новного потока на переход в погра­					О	0J	0,2	0,3	ол
ничном слое (см, рис. 86):
О — f =	27	гЦ (решетка);		• — f =					uL.mi
= 76 Гц;	X — f = 62 Гц								Uoo w

181

f a f l 'j ?

<»Ю’£

/	и1)2 10s		t	u'\‘ WJ
\т й) Af			{ < )		IF
			20
	V	F
		А		4	ч
	\	V
			/ V		•А	Л
			'	N.
0	20	60 60 80 WO 120 m 160 180	0	20	‘lO 60 80 WO 120	HO 160 180
		№				fJu,

Рис. 86. Спектры «' в невозмущенном потоке перед переходом

На рис. 86 приведены энергетические спектры акустических возмущений. Спектральные данные представлены в виде отноше­ ния средней энергии колебаний на единицу ширины полосы частот к квадрату скорости основного потока. Спектр минимальной интенсивности дает максимальное значение критического числа Рейнольдса. Возрастающее влияние акустических возмущений совпадает с наличием пиков энергии при последовательно умень­ шающихся частотах. Основное влияние на критическое число Рейнольдса оказывают спектры F и G (в отличие от спектра А), в которых отсутствуют дискретные пики. Существенная разница во влиянии спектров В к Е объясняется тем, что переходом управ­ ляют какие-то компоненты спектра Е более низкой частоты. Экспериментальные работы по исследованию влияния колебаний на гидродинамику турбулентных потоков в каналах тоже пока­ зали, что при наличии наложенных регулярных колебаний ско­ рости взаимодействие турбулентных пульсаций с наложенными регулярными колебаниями возможно в том случае, когда частота наложенных регулярных колебаний скорости совпадает с ча­ стотой турбулентных пульсаций, соответствующей малым волно­ вым числам (k = 2лп/и).

Экспериментальное исследование устойчивости ламинарного течения в трубе при синусоидально изменяющемся градиенте давления [31 ] показывает, что устойчивость течения определяется числом Рейнольдса Re осредненного движения, параметром

182

частоты й = d у	(d — дйаметр канала; © — угловая частота;
v — коэффициент	кинематической	вязкости)	и относительной
амплитудой колебания скорости Дuof/uof			(Auof — амплитуда
колебания скорости; uof — средняя		скорость	потока). При опре­

деленном соотношении параметра частоты й и относительной амплитуды колебания скорости Au0flu0f возможно появление возвратного течения у стенки канала, которое, как и точки пере­ гиба на профиле скорости стационарного течения, влияет на устой­ чивость течения.

На рис. 87 представлены экспериментально полученные зави­ симости критического числа Рейнольдса в зависимости от относи­ тельной амплитуды Au0fluof при различных параметрах й. Из ри­ сунка видно, что с увеличением Au0l/u0f критическое число Рейнольдса сначала увеличивается, достигает максимума и затем быстро убывает. Значение критических чисел Рейнольдса при пульсирующем течении в некоторой области параметров Au0[/u0f и й больше, чем при стационарном ламинарном течении. Это объясняется тем, что конечные возмущения в пульсирующем ламинарном потоке не усиливаются, а затухают. Кроме того, при заданном значении Au0f/u0f критическое число Рейнольдса уменьшается с увеличением Й. При больших значениях й колеб­ лющийся пограничный слой очень тонок, а при малых значениях Й толщина пограничного слоя соизмерима с толщиной пограничного слоя основного течения. Характерной особенностью пульсирую­ щего ламинарного течения в трубе является то, что, несмотря на наличие точек перегиба в профиле скоростей, критическое число Рейнольдса при пульсирующем течении больше, чем при квазистационарном. Следовательно, наличие точек перегиба на профиле

Рис. 87. Критическое число Рейнольдса для гармонических колебаний жидкости в канале в зависимости от относительной амплитуды скорости \ u j u 0 для раз­ личных значений парэметра_0

18?

скоростей является необходимым условием, но не достаточным для усиления конечных возмущений.

Таким образом, из рассмотрения экспериментальных и теоре­ тических работ по устойчивости следует, что линейная теория неустойчивости позволяет определить границы устойчивого тече­ ния. Поскольку уравнения движения Навье-Стокса содержат нелинейные члены, проблема устойчивости в общем случае должна рассматриваться как нелинейная. Влияние нелинейности при развитии возмущений конечной амплитуды сводится в основном к двум факторам. Во-первых, появляются гармоники колебаний более высоких порядков, чем основная, в результате чего проис­ ходит перераспределение энергии между этими гармониками и осредненным течением; во-вторых, напряжение Рейнольдса при­ водит к изменению исходного профиля скорости.

2. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ

Теоретический анализ влияния наложенных регуляр­ ных колебаний на гидродинамику турбулентных потоков осуще­ ствить не удается, поскольку пока еще нет строгой теории описа­ ния даже стационарных турбулентных потоков. Однако каче­ ственную картину влияния регулярных колебаний на структуру турбулентных потоков можно получить, используя приближенные методы, применяемые в теории акустики и стационарных турбу­ лентных потоков.

При анализе нестационарных турбулентных потоков необхо­ димо, как и в случае анализа процесса теплообмена, выделить две области возможных частот колебаний: низкочастотные и высоко­ частотные. К низкочастотным колебаниям относятся колебания, частота которых много меньше, чем основная (или низшая) ча­ стота турбулентных пульсаций. К высокочастотным колебаниям следует отнести колебания, частота которых соизмерима или больше основной частоты турбулентных пульсаций.

При низкочастотных колебаниях влияние их на структуру турбулентных потоков, вероятно, осуществляется посредством изменения профиля средней скорости в пристеночной области течения. В этом случае для качественного анализа могут быть использованы нестационарные уравнения Рейнольдса. Следует отметить, что только при сравнительно низкочастотных колеба­ ниях возможно использовать метод осреднения турбулентных пульсаций по минимальному периоду их возмущений, который в данном случае много меньше, чем период основных регулярных колебаний. Для несжимаемой жидкости в случае плоскопарал­ лельного нестационарного течения уравнение движения Рей­

	нольдса имеет	вид
	дис .		_____ 1_ _др_ .	d2Uj___________ 1_ д		(u tuk)		(388)
	dt '	k dxh	р дХ(	dxidxh	р	дхь	*

184

где тт = (рщик) — касательное напряжение Рейнольдса, опре­ деляемое турбулентными пульсациями скорости в потоке жид­ кости.

В первом приближении для расчета нестационарных полей осредненной скорости жидкости можно использовать квазистационарную модель расчета, которая основана на квазистационарном расчете турбулентной вязкости. Понятие турбулентной вязкости при стационарном режиме течения аналогично понятию вязкости для ламинарных потоков, т. е. вязкость определяет связь между напряжением Рейнольдса и градиентом средней скорости. Для плоскопараллельного течения жидкости турбулентная вязкость в" основном определяется градиентом скорости, направленным поперек потока, т. е.

	„ _ _ Т т _________ ф и & г )			(389)
	ди/ду ~	ди/ду	*

Распределение турбулентной вязкости поперек турбулентного потока зависит от его структуры. Турбулентный поток условно можно разделить на три зоны: вязкий слой, буферный слой (пере­ ходная область) и турбулентное ядро. В вязком слое, в области, непосредственно прилегающей к стенке, движение жидкости пре­ имущественно ламинарное, т. е. молекулярная вязкость больше, чем турбулентная. Несколько дальше от стенки (за вязким слоем) течение становится нестационарным (буферный слой). После буферного слоя расположено турбулентное ядро, где весь поток вовлечен в турбулентное движение. Следует отметить, что вязкий слой не является полностью невозмущенным. Прилегающие к стенке сравнительно крупные элементы жидкости, имеющие низкую скорость, периодически отрываются от стенки и перено­ сятся в ядро потока. Механизм этого явления полностью еще не изучен, но вероятнее всего этот процесс обусловлен неустойчи­ востью вязкого слоя. Элемент жидкости, оторвавшийся от поверх­ ности, замещается жидкостью с большей энергией из удаленной от поверхности области: именно эта жидкость приносит энергию, необходимую для отрыва элемента жидкости от поверхности. В ядре потока турбулентность генерируется и поддерживается элементами жидкости, пришедшими от стенки.

Согласно методу теории размерности и экспериментальным данным профиль средней скорости в турбулентном стационарном

потоке	описывается	безразмерными переменными:
		Ф =	=/(*]).	(390)
где г) =	v*y/v; v* —	j/~ — ----- динамическая		скорость.

185

Таблица 4

Расчетные формулы для турбулентной вязкости

	Автор	ч			1	* = ит/ц
	0 г^ Т) г£Г 50			•	® — х (Ц— % th ч/Ло)
	Рейхардт		50
		Г) >			е =	- |- ( 0 ,5 +	Л *)(1+7?)
	х =	0,4	Т)0 =	11
	2 6 > т ) ^ 0					тфг) [ 1 — ехр ( —		т«рч)]
	Дайслер		0,0154		е =
	т =
	Сполдинг	Ч $ * 0			~	[exp (*ф) — 1 — хф —
		0,407 с =		10		(Хф)а	(Хф)31
	х =
						21	31	J

Вобласти вязкого слоя средняя скорость изменяется линейно,

аВ буферном слое и турбулентном ядре — по логарифмическому закбну:

вязкий слой :(TJ < 5), <р = rj;
буферный слой	(5 <т| <	30),	q> = 2,51m j— 3,05;	(301)
турбулентное	ядро (ч >	30),	q> == 2,5 In т| -J- 5,5.

Для расчета турбулентной вязкости в стационарных потоках имеется несколько эмпирйческих зависимостей (Рейхардта, Дайсдера, Сполдинга), полученных при обработке экспериментальных данных (табл. 4). .

... Используя понятие турбулентной вязкости, уравнение движе­ ния для нестационарного стабилизированного движения десжимаеЦай жидкости можно записать аналогично,, как и в случае лами­ нарного режима течениям

< 3 9 2 >

где п = 0 для йлоского канала "и-л = h для цилиндрического. Для уточнения квазистационарной методики расчета турбу­ лентной вязкости необходимо рассмотреть уравнение энергии турбулентных пульсаций. Для этой цели необходимо умножить уравнение движения для каждой компоненты скорости турбулент­ ных возмущений на щ, а затем просуммировать по всем трем осям. В результате этих преобразований получим уравнение энергии

186

для турбулентных пульсаций. Для несжимаемой жидкости урав­ нение энергии для турбулентных пульсаций имеет вид

дЕ . dt

	д	/ с	' \	1	/	Ър*		+ V	д*Е	/ ди', dll'* Ч
	дхк <Еи^			Т	\ Щ		ик/		dxi	V\~dxJ	/ \
											(393)
где	Е ==	((и;)2 +		(utf -f- (Ыд)2) — средняя						за период	колеба*.
ний	энергия турбулентных						пульсаций.
Первый член характеризует изменение энергии турбулентных
пульсаций		во	времени,			второй член — конвективный					перенос

энергии турбулентных пульсаций осредненным движением, тре­ тий — порождение энергии турбулентных пульсаций осредненным движением, четвертый — диффузию энергии турбулентных пуль­ саций, диффузию энергии давления, два последних — вязкую диссипацию.

Для решения данного уравнения необходимо принять допол­ нительные упрощения для отдельных членов.

Связь между турбулентной вязкостью и энергией турбулентных пульсаций можно определить, используя формальнуюаналогию

между движением молекул и молей,	т. е.
vT = 1У~Ё,	(394)

где I имеет размерность длины и характеризует масштаб тур­ булентных пульсаций (т. е. прандтлевский путь перемешивания).1 Согласно анализу, проведенному для стационарных турбулентных пограничных слоев, турбулентная вязкость_зависит только от

турбулентного	числа	V Е1	и	определяется
		Рейнольдса ReT = ——-
зависимостью	[13]
е = vT/v = a Re, [1 — exp^-r-^Re?) +
	+	й3 Re1/2 exp (— aiRe?)],		(395)
где a x = 4 - КГ4; с а =		2 ,1-КГ4; а3 = 2*1<Г2;	а =	0,2.

Для больших значений турбулентного числа Рейнольдса согласно уравнению (395) при ReT —» оо е = vT/v = aReT. - Для масштаба турбулентности в первом приближении можно использовать эмпирическую зависимость, полученную для ста­

ционарных потоков в трубе:
^ = 0	,	3	7	-	0	,	(э д

При стабилизированномтечении жидкости в канале конвек­ тивным переносом турбулентной энергии можно пренебречь. Тогда уравнение сохранения энергии турбулентности для течения»

Ш

несжимаемой жидкости в канале можно записать в следующем виде:

T =	V r i l « " O H - B - d i s ,	(397)
где Q — диффузионный	поток энергии турбулентности; В =
= (uim) -Щ- = vT ( • ^ ) 2;	dis — диссипация	кинетической

энергии.

Для определения диффузионного потока энергии турбулент­ ности введем понятие коэффициента турбулентной диффузии, определяемого, как и в случае молекулярной диффузии,

Q = <D-§->

(398)

где D — коэффициент диффузии энергии турбулентности, пропор­ циональный коэффициенту турбулентной вязкости;

D = v -f- tnvr.

(399)

Величина т считается постоянной и равной для стационарного потока 0,4. Обратная величина l/m — vT/D является аналогом турбулентного числа Прандтля. Следует отметить, что уравнением (399) устанавливается линейная связь между диффузионным пото­ ком энергии турбулентности и градиентом дЕ/ду. Такая связь, вероятно, правомерна только при условии, если турбулентная вязкость изменяется квазистационарно; это может быть только в том случае, если турбулентность в каждой точке равновесна. На самом же деле известно, что крупномасштабные и мелкомас­ штабные вихри ведут себя по-разному. Так, например, при вы­ рождении однородной турбулентности за решеткой мелкомасштаб­ ные вихри вырождаются быстрее, чем крупномасштабные, что приводит к изменению спектра турбулентных пульсаций. Следо­ вательно, в нестационарном движении может наблюдаться за­ паздывание по временич турбулентной вязкости (релаксация), как и в случае движения неньютоновской жидкости. В этом слу­

чае необходимо ввести еще дополнительную	константу, т. е.
« = 2>т г - P -f->	<«»>

где р — время релаксации в процессе диффузии кинетической энергии.

Для определения диссипации энергии турбулентности восполь­ зуемся полуэмпирической зависимостью, полученной для стацио­ нарных турбулентных потоков на основании метода теории раз­ мерности и экспериментальных данных:

dis = c D ~ ,

(401)

где с — 3,93 — константа.

188

Используя	приведенные выше		полуэмпирические			со о тн о ш е­
ния, уравнение энергии турбулентности при р =					0 можно записать
в виде
т =	- ^ - И ^ ж	] +	^ ( т	) ’ -	с1)£ -	(402>
При движении жидкости в канале к этому уравнению необхо­
димо добавить	граничные условия:
при у = О Е = 0;		при	у = г0	=	0.	(403)

При такой постановке рассматриваемой задачи расчет неста­ ционарного поля скоростей сводится к совместному решению не­ стационарного уравнения движения (392) и уравнения энергии турбулентности (402).

При анализе структуры турбулентных потоков необходимо знать следующие характеристики.

1. Интенсивность турбулентности для всех трех компонент пульсаций скорости, определяемая как средняя квадратическая скорость турбулентных пульсаций, отнесенная к средней ско­

рости:
k = v(u'i)Vu0.	(404)

Энергия турбулентных пульсаций определяется по энергети­

ческому спектру
((«»*> = Jсо {^u't{k)f)F(k)dk,	(405)
о
где k — 2nflu — волновое число турбулентных	пульсаций;

F (k) — функция распределения энергетического спектра колеба­ ний по частотам.

2. Коэффициент корреляции, характеризующий статистиче­

ские свойства турбулентных	пульсаций	скорости,
_	W )		, 4 Ш
R i,~	((«У) ((«;)*)	»	(406)

причем осреднение может быть произведено как по времени, так и по пространству. Коэффициент R изменяется в пределах —1 с «s; R 1; если статистическая связь между и{ и и, отсутствует, то R tJ = 0.

Зная коэффициент корреляции, можно найти интегральный масштаб турбулентных величин, который определяется как инте­

грал от коэффициента Ri{ по определенному направлению:
Л	Rijdx{.	(407)

189

Макромасштаб Лтг характеризует размеры крупных вихрей. Наряду с этим вводят понятие микромасштаба

Я

(408)

который характеризует размеры малых вихрей.

Между энергетическим спектром турбулентных пульсаций и масштабом турбулентности существует связь, определяемая соот­

ношением
Л« =	-тЧт Fi ДО'-
	L	k->0	(409)
		со *
ОыУ1-	х	1 k%Fi (fe) dk-,

Величины, характеризующие структуру турбулентных пуль­ саций, определяются экспериментально.

В случае высокочастотных колебаний, когда период регуляр­ ных возмущений совпадает с минимальным периодом турбулент­ ных пульсаций, картина течения существенно усложняется: регулярные колебания могут взаимодействовать с турбулентными пульсациями, в результате чего -спектр турбулентных колебаний может изменяться. В спектре одновременно будут существовать как случайные турбулентные колебания, так и регулярные. Если воспользоваться формальным преобразованием уравнений Навье-Стокса к уравнениям Рейнольдса,. полагая при этом, что пульсационную скорость можно представить в виде суммы тур­ булентных составляющих щ и регулярных Wt:

и (0 =* и\ + W't,

то касательное напряжение Рейнольдса в этом случае будет скла­ дываться из турбулентных и регулярных составляющих скорости:

тт = - Р [(щц'ь) + ( а (u’kW'i) + (W'kW'(y, (410)

здесь первый член характеризует напряжение трения вследствие турбулентных (случайных) колебаний, два последующих — ре­ зультат взаимодействия турбулентных составляющих и регуляр­ ных колебаний, последний — результат взаимодействия между регулярными колебаниями.

Эксперименты, проведенные на струях в условиях акустических воздействий в диапазоне чисел'РёйнОльдса Re = б,5-10®-4-5,2 Х X 10е, показывают,- чТб' низкочастотные акустические сигналы приводят к увеличению как интенсивности турбулентности, так и расширению струи, высокочастотные, сигналы уменьшают ин­ тенсивность турбулентности и перемешивание жидкости [7J.

190